De bewegingsvergelijking van een slinger onderheving aan zwaartekracht is:

$\displaystyle I\frac{d^2 \theta}{dt^2}=-m g \ell \sin \theta $

Definieer:

$\displaystyle \omega_0 = \sqrt{\frac{mg\ell}{I}} $

en gebruik:

$\displaystyle \dot \theta \equiv \frac{d \theta}{dt}, \quad \ddot \theta \equiv \frac{d^2 \theta}{dt^2} $

gebruik makend hiervan kan geschreven worden:

$\displaystyle \ddot \theta = -\omega_0^2 \sin \theta$ (1)

Bij kleine uitwijking (dus $ \sin \theta \approx \theta$ voor kleine $ \theta$) wordt de bewegingsvergelijking gelijk aan die van de harmonische oscillator.

$\displaystyle \ddot \theta = -\omega_0^2 \theta $

met als oplossing:

$\displaystyle \theta(t) = A \cos (\omega_0 t + \psi), $

Hier worden $ A$ en $ \psi$ bepaald door de begincondities $ \theta(t=0) \equiv \theta_0$ en $ \dot \theta(t=0) \equiv \dot \theta_0$.

De periode ($ \tau_0$) voor kleine uitwijking (kleine $ \theta$) is:

$\displaystyle \tau_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} $



$ \tau_0$ hangt niet af van $ \theta_0$ of $ \dot \theta_0$ vanwege de kleine hoek benadering. Natuurlijk is deze benadering niet meer geldig bij een grotere uitwijking. Nu zal worden bepaald in hoeverre de harmonische benadering faalt bij grotere hoeken. Schrijf $ \ddot \theta$ als:

$\displaystyle \ddot \theta=\frac{d \dot \theta}{d\theta}\frac{d\theta}{dt}=\dot... ...c{d\dot\theta}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{\dot \theta^2}{2}\right) $

Integreer (1)

$\displaystyle \int_0^{\dot \theta} d \left( \frac{\dot \theta^{'2}}{2} \right) = -\omega_0^2 \int_{\theta_0}^{\theta}\sin \theta' d\theta' $

De oplossing is:

$\displaystyle \dot \theta^2=-2\omega_0^2(\cos\theta - \cos \theta_0) $

Neem aan beide zijden de wortel en rangschik de vergelijking:

$\displaystyle \frac{d\theta}{\sqrt{\cos \theta - \cos \theta_0}}=\pm\sqrt{2}\omega_0dt $

Weer integreren:

$\displaystyle \sqrt{2}\omega_0\int_0^t dt' = -\int_{\theta_0}^\theta \frac{d\theta'}{\sqrt{\cos \theta' - \cos \theta_0}} $

Spreek af dat $ \theta_0$ positief is. Aangezien $ \theta<\theta_0$ zal de integraal aan de rechterkant negatief zijn. Gebruikmakend van de volgende identiteit:

$\displaystyle \cos\theta = 1-2\sin^2 \frac{\theta}{2} $

kan de integraal herschreven worden als:

$\displaystyle 2\omega_0 t = -\int_{\theta_0}^\theta \frac{d\theta'}{\sqrt{\sin^2(\theta_0/2)- \sin^2 (\theta'/2)}} $

Introduceer een nieuwe variabele $ \beta$:

$\displaystyle \sin \beta = \frac{\sin(\theta/2)}{\sin(\theta_0/2)} $

Substitueer deze in de integraal:

$\displaystyle \omega_0 t = \int_{\beta}^{\pi/2} \frac{d\beta'}{\sqrt{1-\sin^2(\theta_0/2) \sin^2\beta'}} $

Neem nu $ \theta=0$ (zodat ook $ \beta=0$) en integreer over een kwart van de periode:

$\displaystyle \tau= \frac{4}{\omega_0} \int_0^{\pi/2} \frac{d\beta}{\sqrt{1-\sin^2(\theta_0/2) \sin^2\beta}} $

Deze integraal staat bekend als een complete elliptische integraal. Deze integraal heeft geen analytische oplossing, maar kan wel benaderd worden gebruikmakend van een reeks ontwikkeling. Er is al afgeleid dat in de kleine hoekbenadering geldt dat periode $ \tau_0 = 2\pi/\omega_0$ is, wat in de volgende verhouding resulteert:

$\displaystyle \frac{\tau}{\tau_0}= \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2} \frac{d\beta}{\sqrt{1-\sin^2(\theta_0/2) \sin^2\beta}} $

Deze integraal kan benaderd worden met een reeks ontwikkeling, waarbij elke term afzonderlijk kan worden geïntegreerd:

$\displaystyle \frac{\tau}{\tau_0}$ $\displaystyle = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi/2}d\beta\left(1+\frac{1}{2}\sin^2\frac{\theta_0}{2}\sin^2\beta +\ldots \right)$    
  $\displaystyle = \frac{2}{\pi}\left[\beta + \frac{1}{4}\sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\left(\beta-\frac{\sin 2\beta}{2}\right) +\ldots \right]_0^{\pi/2}$    
  $\displaystyle =\left[1+\frac{1}{4}\sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\right] + \ldots$    

Weer gebruikmakend van de kleine hoekbenadering voor $ \theta_0$, benaderen we $ \sin^2(\theta_0/2)\approx \theta_0^2/4$ met als resulaat:

$\displaystyle \tau=\tau_0\left(1+\frac{\theta_0^2}{16}+\ldots\right) $

Merk op dat de periode toeneemt met toenemende $ \theta_0$. De relatieve toename wordt:

$\displaystyle \frac{\tau-\tau_0}{\tau_0}\approx\frac{\theta_0^2}{16} $

De kleine hoek benadering verschilt maar $ 1.7\%$ voor $ \theta_0$$ =30^o$.